Question

6．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為BB₁的中點，則二面角M-CD₁-A的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 解：以D為坐標原點，以DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖：
則D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），M（1，1，$\frac{1}{2}$），
則平面ACD₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
平面MCD₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=x+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，令z=2，則x=-1，y=2．即$\overrightarrow{n}$=（-1，2，2），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即二面角M-CD₁-A的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：C

點評 本題主要考查二面角的求解，建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關鍵．