Question

11．在棱長均為6的三棱錐紙盒內(nèi)放一個小正方體，正方體可以繞某對稱軸（即相對兩面的中心連線）旋轉(zhuǎn)，則該正方體棱長的最大值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，并且能使正方體在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，說明正方體在正四面體的內(nèi)切球內(nèi)，求出內(nèi)切球的直徑，就是正方體的對角線的長，然后求出正方體的棱長．

解答 解：設球的半徑為：r，由正四面體的體積得：
4×$\frac{1}{3}$×r×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²×$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×6）^{2}}$，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
設正方體的最大棱長為a，
∴3a²=（$\sqrt{6}$）²，
∴a=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)接球的知識，球的內(nèi)接正方體的棱長的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，計算能力．