Question

【題目】四棱錐的底面為菱形，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，若，.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）通過證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行證明直線與平面平行；（2）通過證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直證明直線與平面垂直；（3）利用等體積法求解三棱錐的高，進(jìn)而求解線面角的正弦值或通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角公式求解.

解：（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，則，

∴，又平面，平面，

從而平面.

（2）證明：連接，

∵，是中點(diǎn)，

∴，

又，，

∴，

又是中點(diǎn)，∴，

且易求，，

∴，從而，

又，

∴平面.

（3）解法一：設(shè)到平面的距離為，與平面所成角為，則

∵，

∴，

計(jì)算可得，，

∴，又∵，

∴，從而.

解法二：作平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，由，，

得解得

∴.

設(shè)平面的法向量為，，，

則，

令，得，

∴，

記直線與平面所成角為，

則.