Question

10．已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上兩動點，且AE=DF，把四邊形BCFE沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的幾何體的體積最大，則該幾何體外接球的體積為（　�。�

• A． 28π
• B． $\frac{{28\sqrt{7}π}}{3}$
• C． 32π
• D． $\frac{{64\sqrt{2}π}}{3}$

Answer 1

分析 三棱柱ABE-DCF的底面積最大時，其體積最大．設FC=x，DCF=6-x，s_△DCF=$\frac{1}{2}×FC×CD$=$\frac{1}{2}x\sqrt{（6-x）^{2}-{x}^{2}}=\frac{1}{2}x•\sqrt{36-12x}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{36{x}^{2}-12{x}^{3}}$．令f（x）=36x²-12x³，f′（x）=72x-36x²，令f（x）=0，可得x=2，即當x=2時，
s_△DCF最大，此時CF，CD，CB兩兩垂直，可以把此三棱柱補成長方體，外接球的半徑為長方體對角線長的一半，得球半徑R即可．

解答 解：



將矩形ABCD沿EF折起，使得平面ABCD⊥平面BCFE，可得直三棱柱ABE-DCF，（如圖）
三棱柱ABE-DCF的底面△DCF，△ABE是直角△，AB⊥BE，F(xiàn)C⊥CD
三棱柱ABE-DCF的底面積最大時，其體積最大．
設FC=x，DCF=6-x，s_△DCF=$\frac{1}{2}×FC×CD$=$\frac{1}{2}x\sqrt{（6-x）^{2}-{x}^{2}}=\frac{1}{2}x•\sqrt{36-12x}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{36{x}^{2}-12{x}^{3}}$．
令f（x）=36x²-12x³，f′（x）=72x-36x²，令f（x）=0，可得x=2
∴當x=2時，s_△DCF最大
 此時CF，CD，CB兩兩垂直，可以把此三棱柱補成長方體，外接球的半徑為長方體對角線長的一半
球半徑R=$\frac{1}{2}\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，∴幾何體外接球的體積為$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{64\sqrt{2}}{3}π$，
故選：D．

點評 本題考查了折疊問題，及三棱柱的外接球，屬于中檔題．