分析 (1)將f(x)=$\sqrt{{x^2}+8x+16}$+$\sqrt{{x^2}-10x+25}$化簡為f(x)=|x+4|+|x-5|,不等式f(x)≥f(-4)?|x+4|+|x-5|≥9,分類討論,去掉絕對值符號,分別解之即可求得不等式f(x)≥f(-4)的解集;
(2)f(x)>g(x)對任意x∈R都成立,即f(x)=|x+4|+|x-5|的圖象恒在g(x)=k(x-5)圖象的上方,在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象,數(shù)形結(jié)合即可求得k的取值范圍.
解答 解:(1)$f(x)=\sqrt{{x^2}+8x+16}+\sqrt{{x^2}-10x+25}=|x+4|+|x-5|$
∴f(x)≥f(-4)即|x+4|+|x-5|≥9(2分)
∴$\left\{\begin{array}{l}x≤-4\\-x-4-x+5≥9\end{array}\right.$,解得x≤-4;或$\left\{\begin{array}{l}-4<x≤5\\ x+4-x+5≥9\end{array}\right.$,解得-4<x≤5;或$\left\{\begin{array}{l}x>5\\ x+4+x-5≥9\end{array}\right.$,解得x>5
所以f(x)≥f(4)的解集為R.(5分)
(2)f(x)>g(x)即f(x)=|x+4|+|x-5|的圖象恒在g(x)=k(x-5)圖象的上方,
由f(x)=|x+4|+|x-5|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1,x≤-4}\\{9,-4<x≤5}\\{2x-1,x>5}\end{array}\right.$,g(x)=k(x-5)圖象為恒過定點P(5,0)且斜率k變化的一條直線,作函數(shù)y=f(x),y=g(x)圖象如圖,其中kPB=2,A(-4,9),
∴kPA=-1,
由圖可知,要使得f(x)的圖象恒在g(x)圖象的上方,
∴實數(shù)k的取值范圍為-1<k≤2.(10分)
點評 本題考查函數(shù)恒成立問題,突出考查絕對值不等式的解法,考查分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合運用,屬于難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,2] | B. | [2,+∞) | C. | (2,+∞) | D. | (0,2] |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$ | B. | $\frac{{3\sqrt{15}}}{2}$ | C. | $-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$ | D. | $-\frac{{3\sqrt{15}}}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 4.00 | 5.58 | 7.00 | 8.44 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 60° | B. | 60°或120° | C. | 30 | D. | 30°°或150° |
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A. | ②④ | B. | ①② | C. | ④ | D. | ②③ |
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