Question

已知a＞0，函數(shù)f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，g(x)=-ax+1
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在（-1，1）上的極值；
（Ⅲ）若在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上至少存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a代入函數(shù)解析時候，求出f（1）及f^′（1），利用直線方程的點斜式可求切線方程；
（Ⅱ）把原函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)后求出導(dǎo)函數(shù)的零點，對a進(jìn)行分類討論得原函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）在（-1，1）上的極值；
（Ⅲ）利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)f（x）與g（x）的差函數(shù)在[-

1

2

，

1

2

]上的最大值，把在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上至少存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)f（x）與g（x）的差函數(shù)在[-

1

2

，

1

2

]上的最大值大于等于0，然后列式可求a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，得：f^′（x）=a²x²-2ax．
當(dāng)a=1時，f(x)=

1

3

x3-x2+

2

3

，此時f^′（1）=-1，f(1)=

1

3

-1+

2

3

=0．
所以，f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=-1×（x-1），即x+y-1=0；
（Ⅱ）由f^′（x）=a²x²-2ax=0得：x=0，或x=

2

a

，
當(dāng)0＜

2

a

＜1，即a＞2時，因為x∈（-1，1），
由f^′（x）＞0⇒-1＜x＜0或

2

a

＜x＜1．
由f^′（x）＜0⇒0＜x＜

2

a

．
所以f（x）在（-1，0]上遞增，在（0，

2

a

]上遞減，在(

2

a

，1)上遞增．
故在（-1，1）上，f(x)極大值=f(0)=

2

3

，f(x)極小值=f(

2

a

)=

2a-4

3a

．
當(dāng)

2

a

≥1，即0＜a≤2時，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上遞減
故在（-1，1）上，f(x)極大值=f(0)=

2

3

，無極小值；
（Ⅲ）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

a2x3-ax2+ax-

1

3

，x∈[-

1

2

，

1

2

]．
則F^′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）．
因為x∈[-

1

2

，

1

2

]，a＞0，所以F^′（x）＞0．
故F（x）在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上為增函數(shù)．
所以F(x)max=F(

1

2

)，
若在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上至少存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，所以需F（x）_max≥0．
即

1

3

a2×

1

8

-a×

1

4

+a×

1

2

-

1

3

≥0，
所以a²+6a-8≥0．
解得：a≤-3-

17

或a≥-3+

17

．
因為a＞0，所以a的取值范圍是[-3+

17

，+∞）．

點評：本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求曲線上點的切線方程的方法，考查了利用導(dǎo)函數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是把在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上至少存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)f（x）與g（x）的差函數(shù)在[-

1

2

，

1

2

]上的最大值大于等于0，該轉(zhuǎn)化理解起來有一定難度．