Question

20．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+$\frac{1}{4x-4}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值及此時x的值．

Answer 1

分析 （1）題中函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，所以真數(shù)須為正數(shù)，真數(shù)中含有分式須分母不為0，滿足這兩個條件即可；
（2）函數(shù)為底數(shù)大于1的對數(shù)含數(shù)，可知函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，其真數(shù)最小時函數(shù)值最小，問題轉(zhuǎn)化為求真數(shù)的最小值，通過觀察發(fā)現(xiàn)其符合均值不等式的條件，所以可以利用均值不等式求出真數(shù)最小值，從而求出對數(shù)最小值．

解答 解：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)及分式定義有$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{4x-4}＞0}\\{4x-4≠0}\end{array}\right.$，解得x＞1，故：其定義域?yàn)椋?，+∞）；
（2）設(shè)$t=x+\frac{1}{4x-4}$（x＞1），則t＞0，
函數(shù)f_（t）=log₂t在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)t取最小值時函數(shù)值最小，
即$t=x+\frac{1}{4x-4}=x-1+\frac{1}{4（x-1）}+1$$≥2×\sqrt{（x-1）\frac{1}{4（x-1）}}+1$=$2×\sqrt{\frac{1}{4}}+1=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)$x-1=\frac{1}{4（x-1）}$$；\\;\\;≥2×\sqrt{（x-1）\frac{1}{4（x-1）}}+1$等號成立，此時$x=\frac{3}{2}$；
當(dāng)t=2時有最小值f（2）=log₂2=1，
故：當(dāng)$x=\frac{3}{2}$時f（x）有最小值為1．
$；\\;=2!×\sqrt{\frac{1}{4}}+1=2$

點(diǎn)評 本題的難點(diǎn)在于聯(lián)想到均值不等式內(nèi)容，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換和簡化；當(dāng)然還可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行研究，注意復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解．