Question

（2008•海珠區(qū)一模）設函數f（x）=x³+sinx，若0≤θ≤

π

2

時，f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A．（0，1]
• B．（-∞，1）
• C．（-∞，1]
• D．(0，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由于f（x）=x³+sinx，0≤θ≤

π

2

，可求得f′（x）=3x²+cosx＞0，可知f（x）為奇函數，增函數，然后可得f（mcosθ）＞f（m-1），從而得出mcosθ＞m-1，根據cosθ∈[0，1]，即可求解．

解答：解：由函數f（x）=）=x³+sinx，可知f（x）為奇函數，f′（x）=3x²+cosx，
又當-1≤x≤1時，cosx＞0，x²＞0，
∴f′（x）=3x²+cosx＞0，
當x＜-1或x＞1時，x²＞1，
∴f′（x）=3x²+cosx＞0，
綜上所述，對任意x∈R，f′（x）=3x²+cosx＞0
∴f（x）=）=x³+sinx是增函數；
∵f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，即f（mcosθ）＞f（m-1）恒成立，
∴mcosθ＞m-1，令g（m）=（cosθ-1）m+1，
當0≤θ≤

π

2

，mcosθ＞m-1恒成立，等價于g（m）=（cosθ-1）m+1＞0恒成立．
∵0≤θ≤

π

2

，
∴cosθ∈[0，1]，
∴cosθ-1≤0，
∴當θ=0時，（cos0-1）m+1＞0恒成立，①
當θ=

π

2

時，（cos

π

2

-1）m+1＞0恒成立，②
由①②得：m＜1．
故選B．

點評：本題考查了函數恒成立的問題，難點在于對函數f（x）=x³+sinx單調性的判斷，需分類討論，考查分類討論思想、轉化思想與構造函數的方法，屬于難題．