Question

已知△ABC中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，現(xiàn)設(shè)向量

m

=（2sin

A

2

，

3

），向量

n

=（cosA，2cos²

A

4

-1），且

m

與

n

共線．
（1）求（

m

+

n

）•

n

的值；
（2）若a=

7

，且△ABC的面積為

3 3

2

，求b+c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理,余弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量共線的條件，及二倍角公式，化簡得到A=

π

3

，化簡向量m，n，再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到答案；
（2）運(yùn)用三角形的面積公式，求出bc=6，再由余弦定理，求出b+c的值．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（2sin

A

2

，

3

），向量

n

=（cosA，2cos²

A

4

-1），且

m

與

n

共線．
∴

3

cosA=2sin

A

2

(2cos2

A

4

-1)
∴

3

cosA=2sin

A

2

cos

A

2

，
∴

3

cosA=sinA，
∴tanA=

3

又A∈（0，π）
∴A=

π

3

∴向量

m

=（1，

3

），向量

n

=（

1

2

，

3

2

），
∴（

m

+

n

）•

n

=

m

•

n

+

n

2=

1

2

+

3

×

3

2

+1=3．
（2）∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

π

3

=

3

2

3

，
∴bc=6
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos

π

3

，
∵a=

7

，
∴（b+c）²=7+3bc=25，
∴b+c=5．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，及向量共線的條件，考查二倍角公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系式，同時考查余弦定理及三角形面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．