Question

定義F（x，y）=（1+x）^y，證明：當y＞x≥1時，F(xiàn)（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式,不等式的證明

專題：不等式的解法及應用

分析：當y＞x≥1時，要證F（x，y）＞F（y，x），只要證

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

．令函數(shù)t（x）=

ln(1+x)

x

，利用導數(shù)的符號可得函數(shù)t（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，可得t（x）＞t（y），即

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

成立，命題得證．

解答： 解：由題意可得當y＞x≥1時，F(xiàn)（x，y）=（1+x）^y ＞1，F(xiàn)（y，x）=（1+y）^x ＞1，
當y＞x≥1時，∵lnF（x，y）=ln（1+x）^y =yln（1+x）＞0，lnF（y，x）=ln（1+y）^x =xln（1+y）＞0，
故要證F（x，y）＞F（y，x），只要證yln（1+x）＞xln（1+y），即

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

．
令函數(shù)t（x）=

ln(1+x)

x

，∵t′（x）=

x 1+x -ln(1+x)

x2

 在[1，+∞）上小于零，故函數(shù)t在[1，+∞）上為減函數(shù)，
故有t（x）＞t（y），故

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

成立，故原不等式成立．

點評：本題主要考查用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題．