Question

8．已知函數(shù)f（x）=a•$\frac{lnx-x+2}{x}$
（I）若函數(shù)f（x）在點（1，f（x））處的切線過點（0，4），求函數(shù)f（x）的最大值
（Ⅱ）當a＜l時，若函數(shù)g（x）=xf（x）+x²-2x+2在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，2）內(nèi)有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．（參考數(shù)值：ln2≈0.7）

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由兩點的斜率公式，可得a=2，求出f（x）的導數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式和導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，g（x）在（$\frac{1}{2}$，2）只有一個零點，有三種情況：①g（x）的極小值g（1）=a+1=0，②$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）≤0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，③$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）＞0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（I）f（x）的導數(shù)為f′（x）=a•$\frac{（\frac{1}{x}-1）•x-（lnx-x+2）}{{x}^{2}}$=a•$\frac{-lnx-1}{{x}^{2}}$，
可得在點（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=-a，切點為（1，a），
由兩點的斜率公式可得-a=$\frac{a-4}{1}$，解得a=2，
即有f（x）=2•$\frac{lnx-x+2}{x}$，f′（x）=-2•$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=$\frac{1}{e}$處f（x）取得最大值f（$\frac{1}{e}$）=2•$\frac{ln\frac{1}{e}-\frac{1}{e}+2}{\frac{1}{e}}$=2e-2；
（Ⅱ）g（x）=xf（x）+x²-2x+2=a（lnx-x+2）+x²-2x+2，
g′（x）=a（$\frac{1}{x}$-1）+2x-2=$\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$，
令g′（x）=0，解得x₁=1，x₂=$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$，
在（$\frac{1}{2}$，1）上g′（x）＜0，在（1，2）上g′（x）＞0，
則g（x）在（$\frac{1}{2}$，1）遞減，在（1，2）上遞增，
則g（x）在（$\frac{1}{2}$，2）只有一個零點，有三種情況：
①g（x）的極小值g（1）=a+1=0，可得a=-1；
②$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）≤0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a（ln\frac{1}{2}+\frac{3}{2}）+\frac{5}{4}≤0}\\{aln2+2＞0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{5}{4ln2-6}}\\{a＞\frac{-2}{ln2}}\end{array}\right.$，
由ln2≈0.7，可得$\frac{-2}{ln2}$＜$\frac{5}{4ln2-6}$，即有$\frac{-2}{ln2}$＜a≤$\frac{5}{4ln2-6}$；
③$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）＞0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{5}{4ln2-6}}\\{a≤\frac{-2}{ln2}}\end{array}\right.$，a無解．
綜上可得，a的范圍是a=-1或$\frac{-2}{ln2}$＜a≤$\frac{5}{4ln2-6}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)的零點問題解法，注意運用分類討論的思想方法，以及函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．