Question

18．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）若函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間為（-$\frac{1}{3}$，1），求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)g（x）過點P（1，1）的切線方程；
（3）若對任意的x∈（0，+∞），不等式2f（x）≤g′（x）+2（其中g(shù)′（x）是g（x）的導函數(shù)）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導數(shù)，由題意可得g′（x）＜0的解集為（-$\frac{1}{3}$，1），即為-$\frac{1}{3}$，1為方程3x²+2ax-1=0的兩根，運用韋達定理，可得a=-1，進而得到所求g（x）的解析式；
（2）設(shè)過P（1，1）的g（x）的切線的切點為（s，s³-s²-s+2），求出導數(shù)，求得切線的斜率，以及切線的方程，代入切點坐標，解方程可得s=0或1，進而得到所求切線的方程；
（3）由題意可得2xlnx≤3x²+2ax+1對x∈（0，+∞）恒成立，即有2a＞$\frac{2xlnx-3{x}^{2}-1}{x}$對x∈（0，+∞）恒成立．設(shè)h（x）=$\frac{2xlnx-3{x}^{2}-1}{x}$，求出導數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得極大值，且為最大值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）g（x）=x³+ax²-x+2的導數(shù)為g′（x）=3x²+2ax-1，
由題意可得函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-$\frac{1}{3}$，1），
即有g(shù)′（x）＜0的解集為（-$\frac{1}{3}$，1），
即為-$\frac{1}{3}$，1為方程3x²+2ax-1=0的兩根，
可得-$\frac{1}{3}$×1=-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$+1=-$\frac{2a}{3}$，
解得a=-1，g（x）=x³-x²-x+2；
（2）設(shè)過P（1，1）的g（x）的切線的切點為（s，s³-s²-s+2），
由g′（x）=3x²-2x-1，可得切線的斜率為3s²-2s-1，
則切線的方程為y-1=（3s²-2s-1）（x-1），
代入切點的坐標，可得s³-s²-s+1=（3s²-2s-1）（s-1），
化簡為s（s-1）²=0，解得s=0或1，
即有切線的斜率為-1或0，
則切線的方程為y=1或y=2-x；
（3）任意的x∈（0，+∞），不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，
即為2xlnx≤3x²+2ax+1對x∈（0，+∞）恒成立，
即有2a＞$\frac{2xlnx-3{x}^{2}-1}{x}$對x∈（0，+∞）恒成立．
設(shè)h（x）=$\frac{2xlnx-3{x}^{2}-1}{x}$，h′（x）=$\frac{2x（1+lnx）-6{x}^{2}-（2xlnx-3{x}^{2}-1）}{{x}^{2}}$
=$\frac{-3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}}$=-$\frac{（3x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，（x＞0），
可得當x＞1時，h′（x）＜0，h（x）遞減；
當0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）遞增．
即有h（x）在x=1處取得極大值，且為最大值-4，
故只要2a≥-4，解得a≥-2．
則a的取值范圍是[-2，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，運用導數(shù)判斷單調(diào)性，求得最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．