Question

8．設(shè)$A（-3，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$為拋物線C：y²=2px（x＞0）的準(zhǔn)線上一點，F(xiàn)為C 的焦點，點P在C上且滿足|PF|=m|PA|，若當(dāng)m取得最小值時，點P恰好在以原點為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{2}+1$
• D． $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$

Answer 1

分析 求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，過點P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，
由拋物線的定義，結(jié)合|PF|=m|PA|，可得m的值；
設(shè)PA的傾斜角為α，當(dāng)m取最小值時cosα最小，此時直線PA與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，
利用雙曲線的定義，求出雙曲線的離心率．

解答 解：點A（-3，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）是拋物線C：y²=2px（p＞0）準(zhǔn)線x=-$\frac{p}{2}$上的一點，
∴-$\frac{p}{2}$=-3，解得p=6；
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=12x，
焦點為F（3，0），準(zhǔn)線方程為x=-3；
過點P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，
則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，
∵|PF|=m|PA|，
∴|PN|=m|PA|，∴$\frac{|PN|}{|PA|}$=m；
如圖所示，
設(shè)PA的傾斜角為α，則cosα=m，
當(dāng)m取得最小值時，cosα最小，此時直線PA與拋物線相切；
設(shè)直線PA的方程為y=kx+3k-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，代入y²=12x，
可得$\frac{k}{12}$y²-y+3k-$\frac{\sqrt{6}}{2}$=0，
∴△=1-4•$\frac{k}{12}$•（3k-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=0，
解得k=$\frac{\sqrt{6}}{2}$或-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
可得切點P（2，±2$\sqrt{6}$）；
由題意可得雙曲線的焦點為（-3，0），（3，0），
∴雙曲線的實軸長為2a=$\sqrt{{（2+3）}^{2}{+（2\sqrt{6}）}^{2}}$-$\sqrt{{（2-3）}^{2}{+（2\sqrt{6}）}^{2}}$=7-5=2，
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{2×3}{2}$=3．
故選：A．

點評 本題考查拋物線、雙曲線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是明確當(dāng)m取得最小值時cosα最小，此時直線PA與拋物線相切，是綜合題．