Question

8．已知函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-a，h（x）=2x•g（x）+1，若對任意x∈（0，2]，不等式|g（x）|x-1≤0恒成立．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）在區(qū)間[t，t+1]上滿足不等式|h（x）|≥1的解有且只有一個，求實數(shù)t的取值范圍（直接寫答案，不必寫過程）；（3）若f（x）=h（x）-x²+2x，試判斷在區(qū)間（0，m）內(nèi)是否存在一個實數(shù)b，使得函數(shù)f（x）的圖象在x=b處的切線的斜率等于m²-m-1，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|g（x）|≤$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，即為|$\frac{1}{2}{x}^{2}$-a|≤$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，即為-$\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{2}{x}^{2}$-a≤$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，化為$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$≤a≤$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，分別求出不等式左右兩邊函數(shù)的最值，可得a的范圍；
（2）|h（x）|≥1，即為x³-3x+1≥1或x³-3x+1≤-1，解得-$\sqrt{3}$≤x≤0或x≥$\sqrt{3}$或x≤-2或x=1，由題意可得只含元素1，即可得到所求范圍；
（3）求出f（x）的導數(shù)，由題意假設在區(qū)間（0，m）內(nèi)存在一個實數(shù)b，使得函數(shù)f（x）的圖象在x=b處的切線的斜率等于m²-m-1，即有f′（b）=m²-m-1，即3b²-2b-m²+m=0在（0，m）根的情況．令g（b）=3b²-2b-m²+m對稱軸為b=$\frac{1}{3}$，可得g（$\frac{1}{3}$）=-（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{12}$＜0，g（0）=m-m²，g（m）=2m²-m，討論m的范圍，結(jié)合零點存在定理，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）對任意x∈（0，2]，不等式|g（x）|x-1≤0恒成立，
即為|g（x）|≤$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，
即為|$\frac{1}{2}{x}^{2}$-a|≤$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，
即為-$\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{2}{x}^{2}$-a≤$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，
化為$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$≤a≤$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$，x∈（0，2]，
由y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$的導數(shù)為y′=x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0在x∈（0，2]恒成立，
可得y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$在（0，2]遞增，x=2取得最大值2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
由y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$的導數(shù)為y′=x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
在（0，1）函數(shù)y遞減，在（1，2）函數(shù)y遞增，
可得y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$在x=1取得最小值1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
可得$\frac{3}{2}$≤a≤$\frac{3}{2}$，即a=$\frac{3}{2}$，
則實數(shù)a的取值范圍是{$\frac{3}{2}$}；
（2）g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-a，h（x）=2x•g（x）+1=x³-3x+1，
|h（x）|≥1，即為x³-3x+1≥1或x³-3x+1≤-1，
解得-$\sqrt{3}$≤x≤0或x≥$\sqrt{3}$或x≤-2或x=1，
在區(qū)間[t，t+1]上滿足不等式|h（x）|≥1的解有且只有一個，
可得0＜t＜$\sqrt{3}$-1；
（3）f（x）=h（x）-x²+2x=x³-x²-x+1，
f′（x）=3x²-2x-1，
由題意假設在區(qū)間（0，m）內(nèi)存在一個實數(shù)b，
使得函數(shù)f（x）的圖象在x=b處的切線的斜率等于m²-m-1，
即有f′（b）=m²-m-1，即3b²-2b-m²+m=0在（0，m）根的情況．
令g（b）=3b²-2b-m²+m對稱軸為b=$\frac{1}{3}$，
可得g（$\frac{1}{3}$）=-（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{12}$＜0，
g（0）=m-m²，g（m）=2m²-m，
當0＜m＜$\frac{1}{2}$時，g（0）＞0，g（m）＜0，g（b）=0在（0，m）有一根；
當$\frac{1}{2}$≤m＜1時，g（0）＞0，g（$\frac{1}{3}$）＜0，g（b）=0在（0，$\frac{1}{3}$）有一根；
當m≥1時，g（$\frac{1}{3}$）＜0，g（m）＞0，g（b）=0在（$\frac{1}{3}$，m）有一根．
綜上可得，在區(qū)間（0，m）內(nèi)存在一個實數(shù)b，
使得函數(shù)f（x）的圖象在x=b處的切線的斜率等于m²-m-1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)性和最值，考查分離參數(shù)和分類討論思想方法，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．