【題目】已知，為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，是橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）直線與橢圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：以為直徑的圓與直線恒相切.

【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)條件和橢圓的性質(zhì)，可列方程組，解出，即得；（2）設(shè)直線的方程為，由直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)題意求出以為直徑的圓，判斷該圓是否與直線恒相切.

（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為，.

由題意知，解得，.

故橢圓的方程為，離心率為.

（2）證明：由題意可設(shè)直線的方程為.

則點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由得.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.

所以，.

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

此時(shí)以為直徑的圓與直線相切.

當(dāng)時(shí)，則直線的斜率.

所以直線的方程為.

點(diǎn)到直線的距離.

又因?yàn)?/span>，所以.

故以為直徑的圓與直線相切.

綜上得，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直線恒相切.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)拋物線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，點(diǎn)A，B分別在拋物線，上，，分別與，相切.

（1）當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4時(shí)，求拋物線的方程；

（2）若，求面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（文科）已知函數(shù).

(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】[選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若射線 與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，求取最大值時(shí)的值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某有機(jī)水果種植基地試驗(yàn)種植的某水果在售賣(mài)前要成箱包裝，每箱80個(gè)，每一箱水果在交付顧客之前要按約定標(biāo)準(zhǔn)對(duì)水果作檢測(cè)，如檢測(cè)出不合格品，則更換為合格品．檢測(cè)時(shí)，先從這一箱水果中任取10個(gè)作檢測(cè)，再根據(jù)檢測(cè)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有水果作檢測(cè)．設(shè)每個(gè)水果為不合格品的概率都為，且各個(gè)水果是否為不合格品相互獨(dú)立．

(Ⅰ)記10個(gè)水果中恰有2個(gè)不合格品的概率為，求取最大值時(shí)p的值；

(Ⅱ)現(xiàn)對(duì)一箱水果檢驗(yàn)了10個(gè)，結(jié)果恰有2個(gè)不合格，以(Ⅰ)中確定的作為p的值．已知每個(gè)水果的檢測(cè)費(fèi)用為1.5元，若有不合格水果進(jìn)入顧客手中，則種植基地要對(duì)每個(gè)不合格水果支付a元的賠償費(fèi)用．

(ⅰ)若不對(duì)該箱余下的水果作檢驗(yàn)，這一箱水果的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；

(ⅱ)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，當(dāng)種植基地要對(duì)每個(gè)不合格水果支付的賠償費(fèi)用至少為多少元時(shí)，將促使種植基地對(duì)這箱余下的所有水果作檢驗(yàn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作直線，分別與橢圓交于，及，點(diǎn)，若，的周長(zhǎng)為8.

（1）求橢圓的方程；

（2）求四邊形面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若且有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

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【題目】某物流公司專(zhuān)營(yíng)從甲地到乙地的貨運(yùn)業(yè)務(wù)（貨物全部用統(tǒng)一規(guī)格的包裝箱包裝），現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了最近100天內(nèi)每天可配送的貨物量，按照可配送貨物量T（單位：箱）分成了以下幾組：，，，，，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表，將頻率視為概率）.

（1）該物流公司負(fù)責(zé)人決定用分層抽樣的方法從前3組中隨機(jī)抽出11天的數(shù)據(jù)來(lái)分析可配送貨物量少的原因，并從這11天的數(shù)據(jù)中再抽出3天的數(shù)據(jù)進(jìn)行財(cái)務(wù)分析，求這3天的數(shù)據(jù)中至少有2天的數(shù)據(jù)來(lái)自這一組的概率.

（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該物流公司每日的可配送貨物量T（單位：箱）服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù).

（�。┰�?yán)迷撜龖B(tài)分布，估計(jì)該物流公司2000天內(nèi)日貨物配送量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）.

（ⅱ）該物流公司負(fù)責(zé)人根據(jù)每日的可配送貨物量為公司裝卸貨物的員工制定了兩種不同的工作獎(jiǎng)勵(lì)方案.

方案一：直接發(fā)放獎(jiǎng)金，按每日的可配送貨物量劃分為以下三級(jí)：時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)50元；，獎(jiǎng)勵(lì)80元；時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)120元.

方案二：利用抽獎(jiǎng)的方式獲得獎(jiǎng)金，其中每日的可配送貨物量不低于時(shí)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每日的可配送貨物量低于時(shí)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金及對(duì)應(yīng)的概率分別為

獎(jiǎng)金

50

100

概率

小張恰好為該公司裝卸貨物的一名員工，試從數(shù)學(xué)期望的角度分析，小張選擇哪種獎(jiǎng)勵(lì)方案對(duì)他更有利？

附：若，則，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為配合“2019雙十二”促銷(xiāo)活動(dòng)，某公司的四個(gè)商品派送點(diǎn)如圖環(huán)形分布，并且公司給四個(gè)派送點(diǎn)準(zhǔn)備某種商品各50個(gè).根據(jù)平臺(tái)數(shù)據(jù)中心統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，需要將發(fā)送給四個(gè)派送點(diǎn)的商品數(shù)調(diào)整為40，45，54，61，但調(diào)整只能在相鄰派送點(diǎn)進(jìn)行，每次調(diào)動(dòng)可以調(diào)整1件商品.為完成調(diào)整，則（ ）

A.最少需要16次調(diào)動(dòng)，有2種可行方案

B.最少需要15次調(diào)動(dòng)，有1種可行方案

C.最少需要16次調(diào)動(dòng)，有1種可行方案

D.最少需要15次調(diào)動(dòng)，有2種可行方案

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