Question

16．如圖，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的周長為$4（\sqrt{2}+1）$，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明k₁•k₂=1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為a=$\sqrt{2}$c，及橢圓的定義得到又2a+2c=$4（\sqrt{2}+1）$，解方程組即可求得橢圓的方程，等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)可求得該雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），根據(jù)斜率公式求得k₁、k₂，把點(diǎn)P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可證明結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，
又2a+2c=$4（\sqrt{2}+1）$，
解得：a=2$\sqrt{2}$，c=2，
∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0）．
∵雙曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，
∴該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），
則k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$×$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$，
又點(diǎn)P（x₀，y₀）在雙曲線上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}-\frac{{y}_{0}^{2}}{4}=1$，即y₀²=x₀²-4，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，等軸雙曲線的求法，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，屬于中檔題．