Question

在中，三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，其中，且

(1)求證：是直角三角形；

(2)設(shè)圓過三點，點位于劣弧上，，用的三角函數(shù)表示三角形的面積，并求面積最大值.

 

Answer 1

(1)祥見解析； (2)；時，最大值等于．

【解析】

試題分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，整理后再利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡得到sin2A=sin2B，再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到A與B相等或A與B互余，由b與a的比值不相等，得到A不等于B，故A與B互余，可得出C為直角，則此三角形為直角三角形，得證；

（2）由三角形ABC為直角三角形，根據(jù)a與b的比值，以及c的值，利用勾股定理求出a與b的值，再由一條直角邊等于斜邊的一半，可得出此直角邊所對的角為30°，即∠BAC為30°，又∠PAB=θ，用∠PAB-∠BAC表示出∠PAC，同時在直角三角形PAB中，由AB的長及∠PAB=θ，利用銳角三角函數(shù)定義表示出PA，由AC，PA及sin∠PAC，利用三角形的面積公式表示出三角形APC的面積，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，最后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)θ的范圍，求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出正弦函數(shù)的值域，進而確定出面積的最大值．

試題解析：(1)證明：由正弦定理得，整理為，即sin2A＝sin2B ∴2A＝2B或2A＋2B＝π,即A＝B或A＋B＝∵，∴A＝B舍去.由A＋B＝可知c＝，∴ΔABC是直角三角形

(2)由(1)及，得， 在RtΔ中， 所以，

， 因為，所以，

當，即時，最大值等于

考點：１．正弦定理；２．兩角和與差的正弦函數(shù)；３．正弦函數(shù)的定義域和值域．