Question

20．設(shè)a＞0，b＞0，若3^a與3^b的等比中項是$\sqrt{3}$，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為9．

Answer 1

分析 由條件可得 3^a•3^b =3，故a+b=1，利用基本不等式求出它的最小值．

解答 解：∵a＞0，b＞0，$\sqrt{3}$是3^a與3^b的等比中項，
∴3^a•3^b =3，故a+b=1．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{4a+4b}$
=1+4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$
≥5+2 $\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=9，
當且僅當$\frac{a}$=$\frac{4a}$時，等號成立，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為 9，
故答案為：9．

點評 本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．