【題目】已知拋物線,焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,線段的中點(diǎn)為.點(diǎn)上在軸上方的一點(diǎn),且點(diǎn)的距離等于它到原點(diǎn)的距離.

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)過(guò)點(diǎn)作一條斜率為正數(shù)的直線與拋物線從左向右依次交于兩點(diǎn),求證:.

【答案】(1);(2)詳見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由點(diǎn)的距離等于它到原點(diǎn)的距離,得,又為線段的中點(diǎn),所以,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入拋物線的方程,解得,即可得到點(diǎn)坐標(biāo).

(2)設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,求得,進(jìn)而得到,進(jìn)而得到直線的傾斜角互補(bǔ),即可作出證明.

(1)根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)的距離等于,

因?yàn)辄c(diǎn)的距離等于它到原點(diǎn)的距離,所以,

從而為等腰三角形,

為線段的中點(diǎn),所以,

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入,解得,

故點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(2)設(shè)直線的方程為,代入,并整理得,

由直線與拋物線交于兩點(diǎn),得

結(jié)合,解得

由韋達(dá)定理,得,,

所以直線的傾斜角互補(bǔ),從而,

結(jié)合軸,得,故.

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