Question

【題目】已知函數(shù)．

(I)討論的單調(diào)性；

(II)若時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ).

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（Ⅱ）通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，從而確定a的范圍即可．

解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域為，，

①當(dāng)時，，f(x)在上為增函數(shù).

②當(dāng)a>0時，由得；

由得,

所以f(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

綜上所述，①當(dāng)時，函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)

②當(dāng)a>0時，f(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

(Ⅱ)①當(dāng)a=0時，因為，所以恒成立，所以a=0符合題意.

②當(dāng)a<0時，，因為，所以不恒成立，舍去.

③當(dāng)a>0時，由(Ⅰ)知f(x)在上為減函數(shù)，f(x)在上為增函數(shù).

下面先證明：.

設(shè)，因為，

所以p(a)在上為增函數(shù).

所以，因此有.

所以f(x)在上為增函數(shù).

所以.

設(shè)，則，.

由得；由得.

所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

所以.

所以q(a)在上為增函數(shù)，

所以.所以.

所以恒成立.

故a>0符合題意.

綜上可知，a的取值范圍是.