Question

10．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=x+a，如果函數(shù)f（x）的圖象與圓x²+y²=1的交點(diǎn)個數(shù)為4，則a的取值范圍為（　　）

• A． {a|-$\sqrt{2}$≤a＜-1}
• B． {a|-$\sqrt{2}$＜a≤-1}
• C． {a|-$\sqrt{2}$＜a＜-1}
• D． {a|-$\sqrt{2}$≤a≤-1}

Answer 1

分析 利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合對稱性得到當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）的圖象與圓x²+y²=1的交點(diǎn)個數(shù)為2，利用直線和圓的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=x+a，
∴要使數(shù)f（x）的圖象與圓x²+y²=1的交點(diǎn)個數(shù)為4，
則等價為當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）的圖象與圓x²+y²=1的交點(diǎn)個數(shù)為2，
作出對應(yīng)的圖象如圖：
當(dāng)a≥0時，兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)最多有一個，不滿足條件．
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（0，-1）時，由-1=0+a得a=-1，此時f（x）與圓沒有交點(diǎn)，
當(dāng)直線和圓在第四象限內(nèi)相切時，a＜0
由圓心到直線x-y+a=0的距離d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}=1$得|a|=$\sqrt{2}$，
得a=-$\sqrt{2}$，此時直線和圓有一個交點(diǎn)，
則要使當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）的圖象與圓x²+y²=1的交點(diǎn)個數(shù)為2，
則實數(shù)a的取值范圍是-$\sqrt{2}$＜a＜-1，
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用奇偶性的對稱性轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）的圖象與圓x²+y²=1的交點(diǎn)個數(shù)為2，利用直線和圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．