Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=（${\frac{1}{2}$）^x-1，若在區(qū)間（-2，6）內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三個不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　　）

• A． （${\sqrt{3}$，0）
• B． （${\root{3}{4}$，2]
• C． [${\root{3}{4}$，2）
• D． [${\root{3}{4}$，2]

Answer 1

分析 由f（x）=f（x+4），推出函數(shù)的周期是4，根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，得到函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的圖象，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合確定滿足的條件即可得到結(jié)論．

解答 解：由f（x）=f（x+4），得函數(shù)f（x）的周期為4，
∵當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=（${\frac{1}{2}$）^x-1，
∴若x∈[0，2]，則-x∈[-2，0]，
則f（-x）=（${\frac{1}{2}$）^-x-1=2^x-1，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=（${\frac{1}{2}$）^-x-1=2^x-1=f（x），
即f（x）=2^x-1，x∈[0，2]，
由f（x）-log_a（x+2）=0得f（x）=log_a（x+2），
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：當(dāng)a＞1時，在區(qū)間（-2，6）要使方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實(shí)數(shù)根，
則等價為函數(shù)f（x）與g（x）=log_a（x+2）有3個不同的交點(diǎn)，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{g（2）＜f（2）}\\{g（6）≥f（6）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＜3}\\{lo{g}_{a}8≥3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞\root{3}{4}}\\{a≤2}\end{array}\right.$，
解得${\root{3}{4}$＜a≤2，
故a的取值范圍是（${\root{3}{4}$，2]，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)判斷，利用函數(shù)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)問題，利用分段函數(shù)的表達(dá)式，作出函數(shù)f（x）的圖象是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．