Question

15．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，DD₁中點(diǎn)為Q，過A、Q、B₁三點(diǎn)的截面面積為$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，得出過A、Q、B₁三點(diǎn)的截面為等腰梯形，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)即可求出截面的面積．

解答 解：如圖所示，
取C₁D₁的中點(diǎn)P，連接PQ、PB₁、AB₁和AQ，則四邊形AB₁PQ是過A、Q、B₁三點(diǎn)的截面；
∵PQ∥C₁D，且PQ=$\frac{1}{2}$C₁D，
∴PQ∥AB₁，
∴四邊形AB₁PQ是梯形；
∵AB=1，
∴AB₁=$\sqrt{2}$，PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
且梯形的高為$\sqrt{{1}^{2}{+（\frac{1}{2}）}^{2}{-（\frac{1}{2}×\frac{1}{2}\sqrt{2}）}^{2}}$=$\frac{3}{2\sqrt{2}}$，
∴截面面積為$\frac{1}{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{2}$）×$\frac{3}{2\sqrt{2}}$=$\frac{9}{8}$．
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間幾何體中的線、面之間的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，是綜合性題目．