Question

7．在幾何體ABCDE中，∠BAC=$\frac{π}{2}$，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABCF是BC的中點(diǎn)，AB=AC=BE=2，CD=1．求證：
（1）DC∥平面ABE；
（2）AF⊥平面BCDE；
（3）求二面角D-AF-E的大�。�

Answer 1

分析 （1）由線面垂直的性質(zhì)定理得出DC∥BE，故而DC∥平面ABE；
（2）由DC⊥平面ABC得出DC⊥AF，由三線合一得出AF⊥BC，故而AF⊥平面BCDE；
（3）由AF⊥平面BCDE得出AF⊥DF，AF⊥EF，于是∠DFE為二面角D-AF-E的平面角，求出△DEF的邊長，利用余弦定理求出∠DFE．

解答 （1）證明：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
∴DC∥BE，又DC?平面ABE，BE?平面ABE，
∴DC∥平面ABE．
（2）證明：連結(jié)AF，
∵DC⊥平面ABC，AF?平面ABC，
∴DC⊥AF，
∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴AF⊥BC，
又DC?平面BCDE，BC?平面BCDE，BC∩CD=C，
∴AF⊥平面BCDE．
（3）解：由（2）得AF⊥平面BCDE，
∵DF?平面BCDE，EF?平面BCDE，
∴AF⊥DF，AF⊥EF，
∴∠DFE為二面角D-AF-E的平面角．
∵AC=AB=2，∠BAC=$\frac{π}{2}$，∴BC=2$\sqrt{2}$，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，又CD=1，BE=2，
∴DF=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，DE=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2-1）^{2}}$=3，
∴cos∠DFE=$\frac{D{F}^{2}+E{F}^{2}-D{E}^{2}}{2DF•EF}$=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
∴二面角D-AF-E的大小為πarccos（-$\frac{\sqrt{3}}{12}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，二面角的計(jì)算，屬于中檔題．