Question

已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是由曲線y=x與y=x²圍成的封閉區(qū)域，若向Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)p，則點(diǎn)p落入?yún)^(qū)域A的概率為（　　）

• A、

  1

  6

• B、

  1

  8

• C、

  1

  12

• D、

  1

  24

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：求得兩曲線的交點(diǎn)分別為O（0，0）、A（1，1），可得區(qū)域A的面積等于函數(shù)y=x與y=x²在[0，1]上的定積分值，利用積分計(jì)算公式算出區(qū)域A的面積．區(qū)域Ω表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，因此求出此正方形的面積并利用幾何概型公式加以計(jì)算，即可得到所求概率．

解答： 解：y=x與y=x²兩曲線的交點(diǎn)分別為O（0，0）、A（1，1）．
因此，兩條曲線圍成的區(qū)域A的面積為
S=∫₀¹（x-x²）dx=（

1

2

x2-

1

3

x3）|

1 0

=

1

6

．
而Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，表示的區(qū)域是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，面積為4，
∴在Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A中的概率P=

1 6

4

=

1

24

；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分求曲邊梯形的面積以及幾何概型的概率求法；本題給出區(qū)域A和Ω，求在Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，使點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A中的概率．著重考查了定積分計(jì)算公式、定積分的幾何意義和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．