Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=$\sqrt{2}$，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求這個四棱錐的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△PAD中PA=PD，O為AD中點(diǎn)，可得PO⊥AD，又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，即可證明PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）利用勾股定理可求PO的值，由體積公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）證明：在△PAD中PA=PD，O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD．
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）∵PA=PD=$\sqrt{2}$，AO=1，∴PO=$\sqrt{A{P}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{2-1}$=1，
∴V=$\frac{1}{3}×$PO×S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{3}×1×（\frac{1+2}{2}×1）=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．