Question

下列五個(gè)命題：
①方程y=kx+2可表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）的所有直線；
②經(jīng)過(guò)點(diǎn)（x₀，y₀）且與直線l：Ax+By+C=0（A•B≠0）垂直的直線方程為：B（x-x₀）-A（y-y₀）=0；
③經(jīng)過(guò)點(diǎn)（x₀，y₀）且與直線l：Ax+By+C=0（A•B≠0）平行的直線方程為：A（x-x₀）+B（y-y₀）=0；
④存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)；
⑤存在無(wú)窮多直線只經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)．
其中真命題是

②③④⑤

（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：①利用斜率和傾斜角的關(guān)系判斷．②利用直線垂直的關(guān)系判斷．③利用直線平行的關(guān)系判斷．④舉一反例即可說(shuō)明本命題是假命題．⑤直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)滿足條件．

解答：解：①當(dāng)直線和x軸垂直是，傾斜角為90°，但此時(shí)斜率k不存在，所以①錯(cuò)誤．
②直線Ax+By+C=0的斜率為-

A

B

，所以和l垂直的直線斜率為

B

A

，所以過(guò)點(diǎn)（x₀，y₀）且與直線l：Ax+By+C=0（A•B≠0）垂直的直線方程為y-y0=

B

A

(x-x0)，即B（x-x₀）-A（y-y₀）=0，所以②正確．
③和直線l：Ax+By+C=0（A•B≠0）平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+m=0，則Ax₀+By₀+m=0，即m=-Ax₀-By₀，
所以A（x-x₀）+B（y-y₀）=0，所以③正確．
④令y=x+

1

2

，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)，所以④正確．
⑤若直線過(guò)原點(diǎn)求系數(shù)不為整數(shù)時(shí)都可以，比如y=

2

x過(guò)原點(diǎn)，且只有一個(gè)整數(shù)點(diǎn)（0，0），所以⑤正確．
故答案為：②③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與直線有關(guān)的命題的真假判斷，要求熟練掌握直線的有關(guān)性質(zhì)．