Question

14．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB，則直線PB與直線AC所成角的大小為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 連接BD，與AC交于O點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)E，連接OE，AE．運(yùn)用中位線定理，可得∠AOE即為直線PB與直線AC所成角．運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)和勾股定理，解三角形AOE，即可得到所求值．

解答 解：連接BD，與AC交于O點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)E，連接OE，AE．
由中位線定理，可得OE∥PB，且OE=$\frac{1}{2}$PB，
即有∠AOE即為直線PB與直線AC所成角．
由PA⊥平面ABCD，設(shè)PA=AB=a，
可得直角三角形PAB中，PB=$\sqrt{2}$a，
OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
在等腰直角三角形PAD中，AE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
在正方形ABCD中，AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
則△AOE為等邊三角形，
可得∠AOE=$\frac{π}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查空間異面直線所成角的求法，注意運(yùn)用三角形的中位線定理和解三角形的知識，考查線面垂直的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．