Question

5．如圖，已知三棱錐O-ABC的三條側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直且OA=OB=OC，△ABC為等邊三角形，M為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P在OM的延長(zhǎng)線上，且PA=PB．PA=$\sqrt{5}$OC，OP=$\sqrt{6}$OC．
（1）證明：AB⊥平面POC；
（2）求二面角P-OA-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出OC⊥平面OAB，從而AB⊥OC，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)OD，PD．則AB⊥OD，AB⊥PD，從而AB⊥PO，由此能證明AB⊥平面POC．
（2）過點(diǎn)P作PH⊥平面OAB，且交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AH，則∠PAH為二面角P-OA-B的平面角，由此能求出二面角P-OA-B的余弦值．

解答 證明：（1）∵三棱錐O-ABC的三條側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直且OA=OB=OC，
∴OC⊥OA，OC⊥OB，又OA∩OB=O，∴OC⊥平面OAB，
又AB?平面OAB，∴AB⊥OC．　…（2分）
取AB中點(diǎn)D，連結(jié)OD，PD．則AB⊥OD，AB⊥PD．  …（3分）
∵OD∩PD=D，∴AB⊥平面POD，
∵PO?平面POD，∴AB⊥PO．…（5分）
AB⊥OC，OC∩PO=O，∴AB⊥平面POC．…（6分）
解：（2）由（1）知AB⊥平面POD，
∴平面OAB⊥平面POD，
且平面OAB∩平面POD=OD，
過點(diǎn)P作PH⊥平面OAB，且交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AH，
PA=$\sqrt{5}OC$，OP=$\sqrt{6}OC$，由OA=OB=OC，
在△POA中，OP²=PA²+OA²，∴OA⊥PA，
又PH⊥OA，∴OA⊥平面PAH，
∴∠PAH為二面角P-OA-B的平面角，…（10分）
在直角△PHA中，cos$∠PAH=\frac{AH}{PA}$，…（11分）
由（1）知∠AOD=45°，∴△OAH為等腰直角三角形，
∴AH=OA=OC，∴cos$∠PAH=\frac{AH}{PA}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角P-OA-B的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．   …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．