Question

16．已知定點(diǎn)A（7，8）和拋物線y²=4x，動(dòng)點(diǎn)B和P分別在y軸上和拋物線上，若$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{PB}=0$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則$|{\overrightarrow{PA}}|+|{\overrightarrow{PB}}|$的最小值為9．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的定義和向量的數(shù)量積的關(guān)系，得到$|{\overrightarrow{PA}}|+|{\overrightarrow{PB}}|$=|PF|+|PA|-1，當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)最�。�

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0）
∵動(dòng)點(diǎn)B和P分別在y軸上和拋物線上，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{PB}=0$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
∴$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{PB}$
∴$|{\overrightarrow{PA}}|+|{\overrightarrow{PB}}|$=|PF|+|PA|-1
∴當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為：|AF|-1=$\sqrt{（7-1）^{2}+{8}^{2}}$=10-1=9
故答案為：9

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查拋物線的定義，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題