Question

6．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域；
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)以及兩角和的正弦函數(shù)．化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，由x的范圍求出相位的范圍，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域可求；
（2）在△ABC中，利用f（C）=2，求出C的值，通過sinB=cos（A-C）-cos（A+C）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡，推出tanA與C的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關系式，求出結果即可．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．
（1）由$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，得$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，則y∈[0，3]；
（2）∵f（C）=2，∴2sin（2C+$\frac{π}{6}$）+1=2，
∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴$\frac{π}{6}$＜2C+$\frac{π}{6}$＜2π+$\frac{π}{6}$，
則2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，C=$\frac{π}{3}$．
∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC，
∴sin（A+C）=sinAsinC，
即：sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC，
即：tanA=$\frac{sinC}{sinC-cosC}$=$\frac{sin\frac{π}{3}}{sin\frac{π}{3}-cos\frac{π}{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)的應用，求解函數(shù)f（x）的值域的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．