已知F1、F2是橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,∠F1PF2=.
(1)求橢圓離心率的范圍;
(2)求證△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).
思路 不妨設(shè)橢圓方程+=1(a>b>0),由焦半徑公式得橢圓上一點到焦點的距離為a±ex0.在△F1PF2中,運用余弦定理,則問題可解. 解答 設(shè)橢圓方程為+=1,(a>b>0) P點坐標為(x0,y0),(y0≠0) (1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0, 在△F1PF2中, cos==, 由此解得x02=. ∵x0∈(-a,a),∴x02∈[0,a2), ∴0≤<a2解得e≥. ∴橢圓離心e∈[,1). (2)∵x02=, ∴y02=,|y0|=, ∴=|y0||F1F2| 。·2c=b2.得證. 評析 橢圓上的點與兩個焦點F1、F2所成的三角形,常稱之為焦點三角形,解焦點三角形問題經(jīng)常使用三角形邊角關(guān)系定理.解題中,通過變形,使之出現(xiàn)|PF1|+|PF2|,這樣便于運用橢圓的定義,得到a、c關(guān)系,打開解題的思路. |
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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