已知F1、F2是橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,∠F1PF2

(1)求橢圓離心率的范圍;

(2)求證△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).

答案:
解析:

  思路  不妨設(shè)橢圓方程 + =1(a>b>0),由焦半徑公式得橢圓上一點到焦點的距離為a±ex0

  思路  不妨設(shè)橢圓方程=1(a>b>0),由焦半徑公式得橢圓上一點到焦點的距離為a±ex0.在△F1PF2中,運用余弦定理,則問題可解.

  解答  設(shè)橢圓方程為=1,(a>b>0)

  P點坐標為(x0,y0),(y0≠0)

  (1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,

  在△F1PF2中,

  cos,

  由此解得x02

  ∵x0∈(-a,a),∴x02∈[0,a2),

  ∴0≤<a2解得e≥

  ∴橢圓離心e∈[,1).

  (2)∵x02,

  ∴y02,|y0|=

  ∴|y0||F1F2|

 。·2c=b2.得證.

  評析  橢圓上的點與兩個焦點F1、F2所成的三角形,常稱之為焦點三角形,解焦點三角形問題經(jīng)常使用三角形邊角關(guān)系定理.解題中,通過變形,使之出現(xiàn)|PF1|+|PF2|,這樣便于運用橢圓的定義,得到a、c關(guān)系,打開解題的思路.


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的兩個焦點,若在橢圓上存在一點P,使∠F1PF2=120°,則橢圓離心率的范圍是
[
3
2
,1
[
3
2
,1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1、F2是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的兩個焦點,若橢圓上存在點P使得∠F1PF2=120°,求橢圓離心率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1、F2是橢圓的兩個焦點.△F1AB為等邊三角形,A,B是橢圓上兩點且AB過F2,則橢圓離心率是
3
3
3
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知 F1、F2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個焦點,橢圓上存在一點P,使得SF1PF2=
3
b2
,則該橢圓的離心率的取值范圍是
[
3
2
,1)
[
3
2
,1)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2是橢圓
x2
2
+y2=1
的兩個焦點,點P是橢圓上一個動點,那么|
PF1
+
PF2
|
的最小值是( 。

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