Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

x

．
①求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
②設g（x）=xf（x）-ax+1，若g（x）在（0，+∞）是存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：①求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號判斷函數(shù)的單調區(qū)間即可；
②求g′（x），g（x）在（0，+∞）上存在極值點，就是g′（x）=0在（0，+∞）上的實數(shù)解，并由g′（x）=0得到x=lna，x＞0，所以a＞1．

解答： 解：①f′（x）=

ex(x-1)

x2

；
∴x∈（-∞，0）和x∈（0，1）時，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間是：（-∞，0），（0，1）；單調增區(qū)間是：[1，+∞）；
②g（x）=e^x-ax+1，
∴g′（x）=e^x-a；
∵g（x）在（0，+∞）上存在極值點；
∴g′（x）=0在（0，+∞）上有實數(shù)解；
∴由g′（x）=0得：e^x=a，
∴x=lna；
∵x＞0，
∴l(xiāng)na＞0，
∴a＞1；
∴實數(shù)a的取值范圍為（1，+∞）．

點評：本題考查根據(jù)導數(shù)符號找單調區(qū)間的方法，函數(shù)極值點的定義，函數(shù)極值點與方程g′（x）=0實數(shù)解的關系．