Question

8．已知定義在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的函數(shù)f（x）=sinx（cosx+1）-ax，若y=f（x）僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{2}{π}$，2]
• B． （-∞，$\frac{2}{π}$）∪[2，+∞）
• C． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{π}$）
• D． （-∞，-$\frac{1}{2}$]∪（$\frac{2}{π}$，+∞）

Answer 1

分析 若y=f（x）僅有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g（x）=sinx（cosx+1）的圖象與y=ax的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答 解：令g（x）=sinx（cosx+1），
則g′（x）=（2cosx-1）（cosx+1），
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
故g（x）=sinx（cosx+1）的圖象如下圖所示：

當(dāng)x=±$\frac{π}{2}$時(shí)，g（x）=±1，此時(shí)a=$\frac{2}{π}$，
當(dāng)x=0時(shí)，g′（x）=2，
若y=f（x）僅有一個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)g（x）=sinx（cosx+1）的圖象與y=ax的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
由圖可得：a∈（-∞，$\frac{2}{π}$）∪[2，+∞），
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，難度中檔．