Question

19．已知圓O：x²+y²=4和點$M（{1，\sqrt{2}}）$，AB為過點M的弦．
（Ⅰ）若$|AB|=2\sqrt{3}$，求直線AB的方程；
（Ⅱ）求弦AB的中點的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）討論直線的斜率不存在與斜率存在時，分別求出滿足條件的直線AB的方程；
（Ⅱ）設出AB的中點坐標，利用OP⊥PM時${\;}^{\;}\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{MP}=0$，列出方程化簡即可．

解答 解：（Ⅰ）圓O：x²+y²=4，圓心為O（0，0），半徑為2，
當直線的斜率不存在時，直線AB的方程為x=1，此時滿足|AB|=2$\sqrt{3}$；
當直線的斜率存在時，設直線AB為：$y=kx+\sqrt{2}-k$，
由題意得：$\frac{{|\sqrt{2}-k|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，
解得$k=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$；（6分）
所以直線AB的方程為x=1或y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；（8分）
（Ⅱ）設AB的中點為P（x，y），則OP⊥PM，（10分）
∴${\;}^{\;}\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{MP}=0$，
即${\;}^{\;}（x，y）•（x-1，y-\sqrt{2}）=0$，
∴x（x-1）+y（y-$\sqrt{2}$）=0，
化簡得${x^2}+{y^2}-x-\sqrt{2}y=0$．（14分）

點評 本題考查了直線與圓的方程的應用問題，也考查了求點的軌跡方程的應用問題，是綜合性題目．