Question

13．對(duì)于任何集合S，用|S|表示集合S中的元素個(gè)數(shù)，用n（S）表示集合S的子集個(gè)數(shù)，若A、B、C是三個(gè)有限集，且滿足條件：①|(zhì)A|=|B|=2016；②n（A）+n（B）+n（c）=n（A∪B∪C），則|A∩B∩C|的最大值是2015．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合集合子集個(gè)數(shù)與元素間的關(guān)系可得n（A）=n（B）=2²⁰¹⁶，再由n（A）+n（B）+n（c）=n（A∪B∪C），得2²⁰¹⁷+n（C）=n（A∪B∪C），進(jìn)一步得到
n（C）=2²⁰¹⁷，n（A∪B∪C）=2²⁰¹⁸，由此可得|C|=2017，|A∪B∪C|=2018，則有2016≤|A∪B|≤2018，然后分類討論求得|A∩B∩C|的可能取值只有2015，2014，2013三種，最大值為2015．

解答 解有k個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)為2^k，而|A|=|B|=2016，
∴n（A）=n（B）=2²⁰¹⁶，
∴n（A）+n（B）+n（c）=2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁶+n（C）=2²⁰¹⁷+n（C），
由已知n（A）+n（B）+n（c）=n（A∪B∪C），
∴2²⁰¹⁷+n（C）=n（A∪B∪C），
其中n（C）與n（A∪B∪C）均為2的整數(shù)次冪，
∴n（C）=2²⁰¹⁷，n（A∪B∪C）=2²⁰¹⁸，
∴|C|=2017，|A∪B∪C|=2018，
也就是說(shuō)，（A∪B∪C）除了包含C的2017個(gè)元素外，還包含一個(gè)屬于A∪B而不屬于C的元素，
不妨用m表示它．
則2016≤|A∪B|≤2018，
下面分三種情況討論：
當(dāng)|A∪B|=2016時(shí)，|A∩B|=2016，|A∩B∩C|=2015（此時(shí)A=B，A∩B∩C就是A去掉元素m）；
當(dāng)|A∪B|=2017時(shí)，|A∩B|=2015，|A∩B∩C|=2015（元素m不在A∩B中）或2014（元素m在A∩B中）；
當(dāng)|A∪B|=2018時(shí)，|A∩B|=2014，|A∩B∩C|=2014（元素m不在A∩B中）或2013（元素m在A∩B中）．
綜上可知，|A∩B∩C|的可能取值只有2015，2014，2013三種，最大值為2015．
故答案為：2015．

點(diǎn)評(píng) 本題考查交集與并集的混合運(yùn)算，考查了集合的元素個(gè)數(shù)與集合子集間的關(guān)系，考查邏輯思維能力與推理論證能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，難度較大．