Question

4．（1）在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z₁=1+2i，z₂=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$i，z₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$i，z₄=-2+i對(duì)應(yīng)的四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上，并證明你的結(jié)論；
（2）實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=（m²-8m+15）+（m²-5m-14）i的點(diǎn)位于第四象限．

Answer 1

分析 （1）利用四個(gè)復(fù)數(shù)的模相等，說明這些點(diǎn)均在以原點(diǎn)為圓心、$\sqrt{5}$為半徑的圓上即可．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-8m+15＞0}\\{{m}^{2}-5m-14＜0}\end{array}\right.$，化簡解出即可得出．

解答 解：（1）四點(diǎn)共圓．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z₁=1+2i，z₂=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$i，z₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$i，z₄=-2+i，
∵|z₁|=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，同理可得：|z₂|=|z₃|=|z₄|=$\sqrt{5}$．
∴在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z₁=1+2i，z₂=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$i，z₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$i，z₄=-2+i對(duì)應(yīng)的四點(diǎn)都在以原點(diǎn)為圓心、$\sqrt{5}$為半徑的同一個(gè)圓上．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-8m+15＞0}\\{{m}^{2}-5m-14＜0}\end{array}\right.$，化為$\left\{\begin{array}{l}{（m-3）（m-5）＞0}\\{（m-7）（m+2）＜0}\end{array}\right.$，
解得-2＜m＜3，或5＜m＜7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．