Question

8．函數(shù)f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）（x∈R）的圖象為C，如下結(jié)論中正確的是①②③④⑤（寫出所在正確結(jié)論的編號）．
①圖象C關(guān)于直線x=$\frac{11}{12}$π對稱；
②圖象C關(guān)于點（$\frac{2π}{3}$，0）對稱；
③函數(shù)f（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$）內(nèi)是增函數(shù)；
④由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是$\frac{π}{4}$的整數(shù)倍；
⑤函數(shù)y=f（x）的表達式可以改寫為f（x）=3cos（2x+$\frac{7π}{6}$）；
⑥將圖象C向左平移$\frac{π}{3}$個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)．

Answer 1

分析 先將三角函數(shù)進行化簡，然后分別利用三角函數(shù)的圖形和性質(zhì)去判斷．①將$x=\frac{11π}{12}$代入，比較是不是最值．②將點$（\frac{2π}{3}，0）$代入函數(shù)，滿足即為對稱中心．③利用函數(shù)的單調(diào)性去判斷區(qū)間．④求出函數(shù)的周期進行判斷，⑤根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進行轉(zhuǎn)化判斷，⑥通過平移結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性進行判斷．

解答 解：①當(dāng)x=$\frac{11}{12}$π時，f（$\frac{11}{12}$π）=3sin（2×$\frac{11}{12}$π-$\frac{π}{3}$）=3sin$\frac{3π}{2}$=-3為最小值，所以$x=\frac{11π}{12}$是函數(shù)的一條對稱軸，所以①正確．
②當(dāng)$x=\frac{2π}{3}$時，f（$\frac{2π}{3}$）=3sin（2×$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=3sinπ=0，所以圖象C關(guān)于點$（\frac{2π}{3}，0）$對稱，所以②正確．
③當(dāng)$-\frac{π}{12}＜x＜\frac{5π}{12}$時，$-\frac{π}{6}＜2x＜\frac{5π}{6}，-\frac{π}{2}＜2x-\frac{π}{3}＜\frac{π}{2}$，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以③正確．
④函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{2}=π$，則由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂=k$•\frac{T}{2}$=$\frac{kπ}{2}$，即x₁-x₂必是$\frac{π}{2}$的整數(shù)倍；故④正確，
⑤f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）=3cos[$\frac{π}{2}$-（2x-$\frac{π}{3}$）]=3cos（$\frac{5}{6}$π-2x）=3cos（2x-$\frac{5}{6}$π）=3cos（2x+2π-$\frac{5}{6}$π）=3cos（2x+$\frac{7π}{6}$），故⑤正確，
⑥由y=3sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位長度，得到y(tǒng)=3sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=3sin（2x+$\frac{π}{3}$），此時函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故⑥錯誤，
所以正確的是①②③④⑤
故答案為：①②③④⑤．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先利用輔助角公式將三角函數(shù)進行化簡，然后在研究相應(yīng)的性質(zhì)．綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì)．