Question

【題目】已知函數(shù) ,
（Ⅰ）證明： 為奇函數(shù)；
（Ⅱ）判斷 單調(diào)性并證明；
（III）不等式 對(duì)于 恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）由 ，可證得函數(shù)為奇函數(shù)；（2）該函數(shù)為反比例型函數(shù)，利用單調(diào)性定義可證得函數(shù)在 上為增函數(shù)。（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式可轉(zhuǎn)化為 恒成立，可求得 的取值范圍。

（Ⅰ） ， 為奇函數(shù)．

（II） 在R上為增函數(shù)．

,

在R內(nèi)任取 ，

則 ，

，

．

在R上為增函數(shù)．

（III） ,

又 在R上為增函數(shù),

恒成立， ，

即 時(shí)， ，

，解得 ．

【解析】【分析(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知 f ( x ) = f ( x ) ，得出函數(shù)為奇函數(shù)。(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義即可得證。(3)結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得 x t ≥ t2 x 2 恒成立， x ∈ [ 1 , 2 ] ，整理上式借助二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值得到 ( x2 + x ) nim ≥ t 2 + t 即為t2 + t ≤ 2 解出即可。