Question

14．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$）
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）O為極點(diǎn)，A，B為圓C上的兩點(diǎn)，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （I）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$），展開可得：ρ²=4ρ$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，利用互化公式即可得出直角坐標(biāo)方程．
（II）不妨設(shè)A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{3}）$．代入ρ₁+ρ₂=4sin（θ-$\frac{π}{6}$）+4sin（θ+$\frac{π}{6}$）化簡整理即可得出．

解答 解：（I）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$），展開可得：
ρ²=4ρ$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，
可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$y-2x．
配方為（x+1）²+$（y-\sqrt{3}）^{2}$=4．
（II）不妨設(shè)A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{3}）$．
∴ρ₁+ρ₂=4sin（θ-$\frac{π}{6}$）+4sin（θ+$\frac{π}{6}$）=8$sinθcos\frac{π}{6}$=4$\sqrt{3}$sinθ≤4$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=1時取得最大值4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．