Question

9．已知函數(shù)f（x）=4x-$\frac{2}{1+c}$x²，g（x）=$\frac{4c}{1+c}$lnx．
（1）若直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象均相切，且與g（x）圖象切點的橫坐標(biāo)為e（e是自然對數(shù)的底數(shù)），求c的值．
（2）若c＜1，試討論函數(shù)f（x）-g（x）的單調(diào)性．
（3）若c＞1，記f（x）-g（x）的極大值為M（c），極小值為N（c），討論函數(shù)h（c）=M（c）-N（c）-$\frac{a}{c+1}$（a為實數(shù)）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，求得切線的方程，再求f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得l與f（x）圖象相切的切點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到縱坐標(biāo)，代入f（x），可得c的值；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=4x-$\frac{2}{1+c}$x²-$\frac{4c}{1+c}$lnx，求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，對c討論，分c≤0時，0＜c＜1，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）c＞1時，由f（x）-g（x）在（1，c）遞增；在（0，1），（c，+∞）遞減．可得x=c取得極大值；x=1處取得極小值，可得h（c）的解析式，可令h（c）=0，化簡可得a=2c²-4clnc-2，設(shè)m（c）=2c²-4clnc-2，c＞1，求得m（c）的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)性，對a討論，分a≤0，a＞0，即可得到所求零點的個數(shù)．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{4c}{1+c}$lnx的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{4c}{1+c}$•$\frac{1}{x}$，
可得g（x）在x=e處的切線的斜率為$\frac{4c}{e（1+c）}$，
切點為（e，$\frac{4c}{1+c}$），
可得切線l的方程為y-$\frac{4c}{1+c}$=$\frac{4c}{e（1+c）}$（x-e），
即為y=$\frac{4c}{e（1+c）}$x，
函數(shù)f（x）=4x-$\frac{2}{1+c}$x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=4-$\frac{4}{1+c}$x，
設(shè)l與f（x）的切點為（m，n），
則4-$\frac{4}{1+c}$m=$\frac{4c}{e（1+c）}$，解得m=1+c-$\frac{c}{e}$，
則n=$\frac{4c}{e（1+c）}$（1+c-$\frac{c}{e}$），
即有$\frac{4c}{e（1+c）}$（1+c-$\frac{c}{e}$）=4（1+c-$\frac{c}{e}$）-$\frac{2}{1+c}$（1+c-$\frac{c}{e}$）²，
化簡可得c=$\frac{e}{1-e}$；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=4x-$\frac{2}{1+c}$x²-$\frac{4c}{1+c}$lnx，
則F′（x）=4-$\frac{4}{1+c}$x-$\frac{4c}{1+c}$•$\frac{1}{x}$
=-4•$\frac{（x-1）（x-c）}{（1+c）x}$，
若c≤0時，由F′（x）＞0可得0＜x＜1；
由F′（x）＜0可得x＞1；
若0＜c＜1時，由F′（x）＞0可得c＜x＜1；
由F′（x）＜0可得0＜x＜c或x＞1．
綜上可得，c≤0時，函數(shù)f（x）-g（x）在（0，1）遞增；
在（1，+∞）遞減；
0＜c＜1時，函數(shù)f（x）-g（x）在（c，1）遞增；
在（0，c），（1，+∞）遞減；
（3）若c＞1時，可得f（x）-g（x）在（1，c）遞增；
在（0，1），（c，+∞）遞減．
即有f（x）-g（x）的極大值M（c）=4c-$\frac{2}{1+c}$•c²-$\frac{4c}{1+c}$lnc，
極小值N（c）=4-$\frac{2}{1+c}$-$\frac{4c}{1+c}$ln1=$\frac{2+4c}{1+c}$，
則h（c）=M（c）-N（c）-$\frac{a}{c+1}$=$\frac{2{c}^{2}+4c}{1+c}$-$\frac{4c}{1+c}$lnc-$\frac{2+4c}{1+c}$-$\frac{a}{c+1}$，
令h（c）=0，可得a=2c²-4clnc-2，設(shè)m（c）=2c²-4clnc-2，c＞1，
可得m′（c）=4c-4（1+lnc）=4（c-1-lnc），
由c-1-lnc的導(dǎo)數(shù)為1-$\frac{1}{c}$，由c＞1可得1-$\frac{1}{c}$＞0，即有c-1-lnc＞0，
即m′（c）＞0，可得m（c）＞m（1）=0，
則當(dāng)a≤0時，a=2c²-4clnc-2無解；
當(dāng)a＞0時，a=2c²-4clnc-2一解．
綜上可得，當(dāng)a≤0時，函數(shù)h（c）無零點；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)h（c）有一個零點．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，注意運用分類討論的思想方法，考查函數(shù)零點的個數(shù)問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．