Question

2．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為線段B₁C的中點(diǎn)，若三棱錐E-ADD₁的外接球的體積為36π，則正方體的棱長(zhǎng)為（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)三棱錐E-ADD₁的外接球的半徑為r由$\frac{4π}{3}×{r}^{3}$=36π，解得r．取AD₁的中點(diǎn)F，連接EF．則三棱錐E-ADD₁的外接球的球心一定在EF上，設(shè)為點(diǎn)O．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，在Rt△OFD₁中，利用勾股定理解出即可得出．

解答 解：如圖所示，設(shè)三棱錐E-ADD₁的外接球的半徑為r，
∵三棱錐E-ADD₁的外接球的體積為36π，則$\frac{4π}{3}×{r}^{3}$=36π，
解得r=3．
取AD₁的中點(diǎn)F，連接EF．則三棱錐E-ADD₁的外接球的球心一定在EF上，設(shè)為點(diǎn)O．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，在Rt△OFD₁中，由勾股定理可得：$（\frac{\sqrt{2}}{2}x）^{2}$+（x-3）²=3²，x＞0．
化為：x=4．
∴正方體的棱長(zhǎng)為4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體的性質(zhì)、三棱錐的性質(zhì)、勾股定理、球的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．