Question

【題目】已知 ,函數(shù) f(x)=x2(x-a) ,若f'(1)=1 .
（1）求 a 的值并求曲線 y=f(x) 在點(1,f(1)) 處的切線方程y=g(x) ；
（2）設h(x)=f'(x)+g(x) ,求 h(x) 在 [0,1] 上的最大值與最小值.

Answer 1

【答案】
（1）

解：f'(x)=3x2-2ax ,由 f'(1)=1 得 3-2a=1 ,所以 a=1 ;

當 a=1 時,f(x)=x3-x2,f(1)=0 ,又 f'(1)=1 ,

所以曲線y=f(x) 在(1,f(1)) 處的切線方程為 y-0=x-1 ,即g(x)=x-1 ;

（2）

【解答】

解：由(1)得 ,

又h(0)=-1,h(1)=1, ,

∴ h(x) 在 [0,1] 上有最大值1,有最小值 .

【解析】本題主要考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解切線方程以及函數(shù)的最值，屬于中檔題
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．