【題目】一艘輪船在航行中燃料費和它的速度的立方成正比.已知速度為每小時10千米時,燃料費是每小時6元,而其他與速度無關的費用是每小時96元,問輪船的速度是多少時,航行1千米所需的費用總和最少?

【答案】當速度為20千米/小時時,航行1千米所需費用總和最少

【解析】

試題設速度為每小時v千米時，由題可得行駛1千米的總費用為q=(0.006v3+96)=0.006v2+. 再用導數(shù)作為工具求解該最值問題即可.

試題解析：設速度為每小時v千米時,燃料費是每小時p元,那么由題設知p=kv3,因為v=10,p=6,所以k==0.006.于是有p=0.006v3.

又設船的速度為每小時v千米時,行駛1千米所需的總費用為q元,那么每小時所需的總費用是(0.006v3+96)元,而行駛1千米所用時間為小時,所以行駛1千米的總費用為

q=(0.006v3+96)=0.006v2+.

q′=0.012v-=(v3-8000),

令q′=0,解得v=20.

當v<20時,q′<0;當v>20時,q′>0,

所以當v=20時,q取得最小值.

即當速度為20千米/小時時,航行1千米所需費用總和最少.

點晴：本題考查函數(shù)模型的應用，考查建立函數(shù)模型解決實際問題的思想和方法．建立起函數(shù)模型之后選擇導數(shù)作為工具求解該最值問題． 根據(jù)題意建立相應的函數(shù)模型是解決本題的關鍵．建立起函數(shù)的模型之后，根據(jù)函數(shù)的類型選擇合適的方法求解相應的最值問題，充分發(fā)揮導數(shù)的工具作用．

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬元，每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬元.設該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機萬只并全部銷售完，每萬只的銷售收入為萬元，且

（1）寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（萬只）的函數(shù)解析式；

（2）當年產(chǎn)量為多少萬只時，該公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.

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【題目】已知（且）是R上的奇函數(shù)，且.

（1）求的解析式；

（2）若關于x的方程在區(qū)間內(nèi)只有一個解，求m的取值集合；

（3）設，記，是否存在正整數(shù)n，使不得式對一切均成立？若存在，求出所有n的值，若不存在，說明理由.

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【題目】設函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的最大值；

（2）令其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值

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【題目】一個不透明的箱子中裝有大小形狀相同的5個小球，其中2個白球標號分別為，，3個紅球標號分別為，，，現(xiàn)從箱子中隨機地一次取出兩個球.

（1）求取出的兩個球都是白球的概率；

（2）求取出的兩個球至少有一個是白球的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線：，過拋物線焦點且與軸垂直的直線與拋物線相交于、兩點，且的周長為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線過焦點且與拋物線相交于、兩點，過點、分別作拋物線的切線、，切線與相交于點，求：的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點.

（1）若且，證明：函數(shù)必有局部對稱點；

（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在上有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中央政府為了應對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責成人社部進行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15～65歲的人群中隨機調(diào)查100人，調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示, 支持“延遲退休年齡政策”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如表：

年齡（歲）

支持“延遲退休年齡政策”人數(shù)

15

5

15

28

17

（I）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表；

年齡低于45歲的人數(shù)

年齡不低于45歲的人數(shù)

總計

支持

不支持

總計

（II）通過計算判斷是否有的把握認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度有差異.

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

參考公式：

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【題目】一個口袋中有個白球和個紅球（，且），每次從袋中摸出兩個球（每次摸球后把這兩個球放回袋中），若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎．

(1)試用含的代數(shù)式表示一次摸球中獎的概率；

(2)若，求三次摸球恰有一次中獎的概率；

(3)記三次摸球恰有一次中獎的概率為，當為何值時，取最大值.

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