Question

某同學(xué)為研究函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點(diǎn)P是邊BC上的一個動點(diǎn)，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸是    ；函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個數(shù)是    ．

Answer 1

【答案】分析：從運(yùn)動的觀點(diǎn)看，當(dāng)點(diǎn)P從C點(diǎn)向點(diǎn)B運(yùn)動的過程中，在運(yùn)動到BC的中點(diǎn)之前，PA+PF的值漸漸變小，過了中點(diǎn)之后又漸漸變大，可得函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸；函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個數(shù)就是f（x）=的解的個數(shù)．
解答：解：由題意可得函數(shù)f（x）=AP+PF，從運(yùn)動的觀點(diǎn)看，當(dāng)點(diǎn)P從C點(diǎn)向點(diǎn)B運(yùn)動的過程中，在運(yùn)動到BC的中點(diǎn)之前，PA+PF的值漸漸變小，過了中點(diǎn)之后又漸漸變大，
∵當(dāng)點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)上時，即A、B、P三點(diǎn)共線時，即P在矩形ADFE的對角線AF上時，PA+PF取得最小值；當(dāng)P在點(diǎn)B或點(diǎn)C時，PA+PF取得最大值
∴函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸是；
g（x）=4f（x）-9=0，即 f（x）=．故函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個數(shù)就是f（x）=的解的個數(shù)．
而由題意可得 f（x）=的解有2個，
故答案為：；2
點(diǎn)評：本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．