Question

8．極限$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{n}{\sum_{i=1}^{n}e}^{\frac{i}{n}}$的值為e-1．

Answer 1

分析 結(jié)合幾何意義，將原式轉(zhuǎn)化為定積分${∫}_{0}^{1}e^xdx$是解決本題的關(guān)鍵．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^x，x∈[0，1]，
將區(qū)間[0，1]進(jìn)行n等分，每份的寬度為$\frac{1}{n}$，
函數(shù)f（x）的圖象在[0，1]上與x軸圍成“曲邊梯形”面積的近似值為：
S_n=$\frac{1}{n}$[${e}^{\frac{1}{n}}$+${e}^{\frac{2}{n}}$+${e}^{\frac{3}{n}}$+…+${e}^{\frac{n}{n}}$]（該式為剩余近似值），
所以，原式=$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\underset{lim}{n→∞}$[$\frac{1}{n}$（${e}^{\frac{1}{n}}$+${e}^{\frac{2}{n}}$+${e}^{\frac{3}{n}}$+…+${e}^{\frac{n}{n}}$）]=${∫}_{0}^{1}e^xdx$=e-1．
故填：e-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了極限及其運(yùn)算，涉及定積分的幾何意義，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．