Question

15．函數(shù)$y=4\sqrt{x+1}-2x$的值域?yàn)椋?∞，4]．

Answer 1

分析 利用換元法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：由x+1≥0得x≥-1，即函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，+∞），
設(shè)t=$\sqrt{x+1}$，則t≥0，
則x+1=t²，即x=t²-1，
則函數(shù)等價為y=4t-2（t²-1）=-2t²+4t+2=-2（t-1）²+4，
∵t≥0，
∴y=-2（t-1）²+4≤4，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，4]，
故答案為：（-∞，4]

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．