Question

6．已知f（x）=$\frac{ln（x+1）}{ax+1}$在x∈（0，1）上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是[-1，$\frac{1}{2ln2-1}$]．

Answer 1

分析 先求導數(shù)，$f′（x）=\frac{\frac{ax+1}{x+1}-aln（x+1）}{（ax+1）^{2}}$，根據(jù)f（x）在x∈（0，1）上單調遞增便可得到$\frac{ax+1}{x+1}-aln（x+1）≥0$在x∈（0，1）上恒成立，進一步得到a[（x+1）ln（x+1）-x]在x∈（0，1）上恒成立．可判斷函數(shù)g（x）=（x+1）ln（x+1）-x在（0，1）上單調遞增，從而得到g（x）＞0，這便可得出$a≤\frac{1}{（x+1）ln（x+1）-x}$，根據(jù)g（x）的單調性便可求出$\frac{1}{（x+1）ln（x+1）-x}＞\frac{1}{2ln2-1}$，從而得到$a≤\frac{1}{2ln2-1}$；根據(jù)f（x）的單調性可以得出a$＞-\frac{1}{x}$在（0，1）上恒成立，從而得到a≥-1，這樣便可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：$f′（x）=\frac{\frac{ax+1}{x+1}-aln（x+1）}{（ax+1）^{2}}$；
∵f（x）在x∈（0，1）上單調遞增；
∴f′（x）≥0在x∈（0，1）上恒成立；
∴$\frac{ax+1}{x+1}-aln（x+1）≥0$在x∈（0，1）上恒成立；
∴ax+1-a（x+1）ln（x+1）≥0，即1≥a[（x+1）ln（x+1）-x]在x∈（0，1）上恒成立；
設g（x）=（x+1）ln（x+1）-x，g′（x）=ln（x+1）；
∵x∈（0，1）；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，1）上單調遞增；
∴g（x）＞g（0）=0；
即（x+1）ln（x+1）-x＞0；
∴$a≤\frac{1}{（x+1）ln（x+1）-x}$在x∈（0，1）上恒成立；
g（0）＜g（x）＜g（1）；
即0＜（x+1）ln（x+1）-x＜2ln2-1；
∴$\frac{1}{（x+1）ln（x+1）-x}＞\frac{1}{2ln2-1}$；
∴$a≤\frac{1}{2ln2-1}$；
∵f（x）＞f（0）；
即$\frac{ln（x+1）}{ax+1}＞0$；
∵x∈（0，1），ln（x+1）＞0；
∴ax+1＞0在x∈（0，1）上恒成立；
即$a＞-\frac{1}{x}$在x∈（0，1）上恒成立；
0＜x＜1；
∴$\frac{1}{x}＞1$，$-\frac{1}{x}＜-1$；
∴a≥-1；
∴$-1≤a≤\frac{1}{2ln2-1}$；
∴實數(shù)a的取值范圍為$[-1，\frac{1}{2ln2-1}]$．
故答案為：[$-1，\frac{1}{2ln2-1}$]．

點評 考查函數(shù)單調性和函數(shù)導數(shù)符號的關系，不等式的性質，以及增函數(shù)定義的運用，根據(jù)a＞h（x）恒成立求a的范圍的方法，不要漏了a≥-1的情況，注意正確求導．