Question

9、在（1+x+x²）（1-x）¹⁰的展開式中，含x⁴的系數為

135

．

Answer 1

分析：先將多項式展開，轉化為二項式系數的和差，利用二項展開式的通項公式求出各項系數即可．

解答：解：∵（1+x+x²）（1-x）¹⁰=（1-x）¹⁰+x（1-x）¹⁰+x²（1-x）¹⁰
∴（1+x+x²）（1-x）¹⁰展開式中含x⁴的系數為
（1-x）¹⁰的含x⁴的系數加上其含x³的系數加上其含x²項的系數
∵（1-x）¹⁰展開式的通項為T_r+1=C₁₀^r（-x）^r
令r=4，3，2分別得展開式含x⁴，x³，x²項的系數為C₁₀⁴，-C₁₀³，C₁₀²
故（1+x+x²）（1-x）¹⁰展開式中含x⁴的系數為
C₁₀⁴-C₁₀³+C₁₀²=135，
故答案為135

點評：本題考查等價轉化能力及利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．