如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，Q分別是BB1，BC1中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段C1M上，且
C1P
=x
C1M
，
（1）用向量
AB
，
AC
，
AA1
表示向量
AQ
；
（2）用向量
AB
，
AC
，
AA1
表示向量
AP
；
（3）若AP與平面A1BC交于N，
AN
=y
AP
，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
分析：（1）利用向量的平行四邊形法則，用向量
AC
，
AA1
表示向量
AC1
，再利用
AQ
=
1
2
(
AB
+
AC1
)，即可得到用向量
AB
，
AC
，
AA1
表示向量
AQ
；
（2）利用向量的三角形法則，可得向量
AB
，
AC
，
AA1
表示向量
AP
；
（3）利用空間向量的基本定理即可得出．
解答：解：（1）∵
AA1
+
AC
=
AC1
，
AQ
=
1
2
(
AB
+
AC1
)，
∴
AQ
=
1
2
(
AC
+
AB
+
AA1
)．
（2）∵
C1P
=x
C1M
，
又
C1M
=
C1B1
+
B1M
=
CB
-
1
2
AA1

=
AB
-
AC
-
1
2
AA1
，
∴
AP
=
AC1
+
C1P
=
AA1
+
AC
+x
C1M

=
AA1
+
AC
+x(
AB
-
AC
-
1
2
AA1
)
=(1-
1
2
x)
AA1
+(1-x)
AC
+x
AB
．
（3）由空間向量的基本定理可設(shè)
AN
=k
AB
+m
AA1
+n
AC
，
∵四點(diǎn)A1、B、C、N共面，∴k+m+n=1．
∵
AN
=y
AP
，
∴y[(1-
1
2
x)
AA1
+(1-x)
AC
+x
AB
]=k
AB
+m
AA1
+n
AC
，
∴
y(1-
1
2
x)=m
y(1-x)=n
yx=k
，利用k+m+n=1，
可得yx+y(1-x)+y(1-
1
2
x)=1，
化為y=
2
4-x
(0≤x≤1)即為所求的關(guān)系式．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平面向量的三角形法則、平行四邊形法則、空間向量的基本定理、三點(diǎn)共面的性質(zhì)定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥平面ABC，AC=BC=CC1=1，則直線A1C1和平面ACB1的距離等于
 
．精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，AB=AC．
（1）證明：DE⊥平面BCC1
（2）設(shè)B1C與平面BCD所成的角的大小為30°，求二面角A-BD-C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黑龍江）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=
12
AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為正三角形，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，D是BC中點(diǎn)，且AA1=AB
（1）證明：AD⊥BC1
（2）證明：A1C∥平面AB1D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•大連二模）如圖，三棱柱ABC-A′B′C′，cc′=
2
，BC′=
2
，BC=2，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC′B′，E、F分別為棱AB、CC′的中點(diǎn)．
（I）求證：EF∥平面A′BC′；
（Ⅱ）若AC≤
2
，且EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為
7
3
，求二面角C-AA'-B的大�。�

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